A GEOMETRIA DOS FRACTAIS

                            A Geometria dos Fractais

Em seu livro de 1983, intitulado "The Fractal Geometry of Nature" (A Geometria Fractal da Natureza)Benoît Mandelbrot, diz:

           
"Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta."

                        
A Ciência dos Fractais apresenta estruturas Geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às Formas da Natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria Compreensão do Universo.

São imagens de objetos abstratos que possuem o caráter de Onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela Mente Humana.

            

Essa Geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e algumas indicações neste sentido vêm de muito antes na Grécia Homérica, Índia, China, entre outros.

Porém, somente há poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia e matemática.

O termo "fractal" foi criado em 1975 pelo pesquisador Benoît Mandelbrot, o "pai dos fractais".

         

Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria.

A noção que serve de fio condutor foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa "irregular" ou "quebrado".

Uma primeira definição matemática, pelo próprio Mandelbrot, diz: -

          

"Um conjunto é dito Fractal se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão topológica".

No decorrer do tempo ficou claro que esta definição era muito restritiva embora tenha motivações pertinentes.

Uma definição mais simples é esta:

          

"Fractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita."

Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, não existindo uma aparência consensual.

Contudo, existem duas características muito freqüentes nesta geometria:

Complexidade Infinita:

          

É uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita.

Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.

Auto-similaridade:

                 

Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.

A imagem anterior ("A Curva de Koch") é um exemplo geométrico da construção de um fractal.

Um mesmo procedimento é aplicado diversas vezes sobre um objeto simples, gerando uma imagem complexa.

Cada pedaço da linha foi dividido em 4 pedaços menores idênticos ao pedaço original, cada um sendo 3 vezes menor que o tamanho original.

Assim, usando um novo conceito de dimensão, os matemáticos calcularam a dimensão fractal deste objeto como sendo:

D = log(n.cópias)/log(escala) = log(4)/log(3) = 1,26185.

A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais.

Nuvens, montanhas, turbulências, árvores, crescimento de populações, vasos sangüíneos e outras formas irregulares podem ser estudadas e descritas utilizando as propriedades dos fractais.

             
O estudo dos fractais está ligado à Teoria do Caos, que busca padrões organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório.

Na Mitologia Grega, Caos era o estado não-organizado, ou o Nada, de onde todas as coisas surgiam.

Mas não era apenas o mero vácuo e sim o estado de escuridão e nebulosidade infinita.

                             

A Cosmogonia de Orphic afirma que Chronos (personificação do tempo) deu origem a Ether e a Caos sendo que este formou um enorme ovo de onde nasceu o Paraíso, a Terra e Eros.

                              

De acordo com a Teogonia de Hesiold, o Caos precedeu a origem não só do Mundo mas também dos Deuses...

                         
Hoje em dia - com o desenvolvimento da Matemática e Ciência - a Teoria do Caos surgiu para compreender as flutuações erráticas e irregulares da natureza, resíduos da Formação Primordial vinda do grande Ovo de Caos.

Sistemas de comportamento caótico são encontrados em muitos campos da ciência e engenharia e são estudados, pois muitas vezes são achados padrões que mostram uma estrutura ordenada no sistema.

Uma característica de um sistema caótico é que ele sempre mostra "sensibilidade às condições iniciais", isto é, qualquer perturbação no estado inicial do sistema, não importando quão pequena seja, levará rapidamente a uma grande diferença no estado final, fazendo com que a previsão do futuro torne-se muito difícil.

Porém, compreendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível entender como o sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.

Apesar das inúmeras aplicações e utilidades, os fractais ainda têm um longo caminho pela frente.

Faltam muitas ferramentas e vários problemas continuam sem solução.

Uma teoria completa e unificada é necessária e a pesquisa prossegue neste sentido.

"O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem, e ele contém o Universo Infinito."
(Frances A. Yates)



A imagem acima é um fractal gerado pela Textura de Perlin, que representa a complexidade de diversos tipos de texturas encontradas normalmente na natureza (ex: em pedras, madeira, fogo, fumaça, água, núvens, pele, etc.).

São equações matemáticas que geram um tipo especial de "ruído semi-aleatório" que é convertido na forma imagens.

Muitos filmes utilizam texturas deste tipo, geradas com computaçào gráfica.

Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milênios atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO.

É o caso dos pontos, como este ponto final (.).

Uma Linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma Única dimensão.

Para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números - o do comprimento pelo da largura.

Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume.

Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema.

                   

Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando penetram na terra - existe uma infinidade de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por essa Geometria toda certinha.

É preciso apelar para complicados cálculos que resultam nas chamadas dimensões fracionárias - como a dimensão 0,5, por exemplo, típica de um objeto que é mais do que um simples ponto com dimensão zero, porém menos do que uma linha com dimensão 1.

Só a chamada Geometria dos Fractais consegue descrevê-lo.

Essa nova área das Ciências Matemáticas vem tendo uma enorme aplicação.

          

Para os biólogos, ajuda a compreender o crescimento das Plantas.

Para os Físicos, possibilita o estudo de superfícies intrin-cadas.

Para os Médicos, dá uma Visão Nova da  Anatomia do corpo.

           

Enfim, não faltam exemplos. Um dos mais belos - e, sem dúvida, o mais colorido - é o uso dos Fractais na Arte.

Quando os computadores são alimentos com equações, eles criam magníficos desenhos abstratos.

Dizem que uma imagem pode substituir mil palavras.

No caso, um único fractal pode ocupar o espaço de 100 000 palavras na memória do computador.

E o objetivo dos pesquisadores é de que ele sirva por outras 100 000 palavras para mostrar ao público leigo aquilo que passa na cabeça de um matemático.

"Muitas vezes, os matemáticos perdem anos tentando encontrar ou decifrar uma fórmula sem finalidade prática alguma - ao menos imediata" diz Rossetti Baptista.

"Fazem isso porque a matemática é lúdica, com suas idéias abstratas. E é um pouco desse lado lúdico que as pessoas podem experimentar ao ver uma obra cuja base é uma equação."

Na opinião do professor José Teixeira Coelho Neto, da Escola de Comunicação da USP, a linguagem dos fractais tem tudo a ver com o presente.

"Há muito tempo existem uma discussão na Arquitetura entre modernos e pós-modernos", exemplifica.

Segundo ele, os modernos encaram os ângulos retos, a Geometria clean como algo mais evoluído, enquanto os pós-modernos brigam contra esse conceito.

"Assim, a Geometria dos Fractais vem como um Reforço para o Pós-modernismo."

Fonte: Revista SUPERINTERESSANTE, Outubro 1994 - Edição 85 - Pg.22-27
Site: http://www.fractarte.com.br/