O UNIVERSO É QUÂNTICO : INTRODUÇÃO À REALIDADE FANTÁSTICA

Deus joga aos dados.

A evolução da Física no decurso do século XX ficou marcada por duas revoluções. A segunda, a Relatividade Restrita, iniciada por Einstein em 1905, alterou profundamente os conceitos de espaço e principalmente de tempo. Mas a primeira, que teve a sua origem no início do século com o trabalho de Planck sobre a teoria do corpo negro, produziu modificações ainda mais profundas ao nível de todos os conceitos fundamentais da Física. Trata-se da teoria que inicialmente se denominou «Mecânica Quântica» e actualmente se denomina Física Quântica.
Representação de um átomo.
Representação de um átomo.
O termo “quantum”, do latim “quanto” refere-se às unidades discretas que a teoria atribui a certas quantidades físicas, tais como a energia de um átomo em repouso. A descoberta de que ondas podem ser medidas em pequenos pacotes de energia chamados quanta, com propriedades de partículas, levou ao nascimento da Mecânica Quântica. As suas bases foram estabelecidas durante a primeira metade do século XX por Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, entre outros.
Imagem computorizada de um curral de electrões.
Imagem computorizada de um curral de electrões.
É interessante notar que toda a física é quântica e a física não quântica é uma aproximação, muitas vezes excelente, da primeira. A razão porque a aproximação não quântica é boa explica-se atendendo ao valor da constante de Planck, h. Assim temos h ≅ 6.626×10-34 (Joule × segundo), o que é um valor extraordinariamente pequeno. Se o valor de h fosse zero as leis da física clássica seriam exactas e não apenas uma excelente aproximação.

Fotões e electrões

Nos últimos anos do século XIX foi identificada a carga eléctrica elementar, designada por electrão. A corrente eléctrica é assim constituída por vários electrões que se deslocam ao longo do fio condutor e quando um corpo está carregado electricamente, a sua carga é sempre um múltiplo inteiro da carga elementar do electrão. Dito por outras palavras: Não é possível partir o electrão em pedaços cabendo a cada um uma fracção da sua carga eléctrica.
Ferro em brasa.
Ferro em brasa
Todos os que já viram um ferro muito quente, aquilo que vulgarmente se designa por um ferro em brasa, puderam constatar que emite luz. Primeiro emite uma luz avermelhada, depois, se continuarmos a aquecer, a luz torna-se mais alaranjada, aquecendo ainda mais, a luz emitida é mais branca, chegando mesmo a ficar azulada. Esta relação entre a temperatura de um corpo e a cor da radiação emitida é uma propriedade de todos os corpos. O corpo humano emite radiação no domínio do infravermelho, ao qual os nossos olhos não são sensíveis, mas que pode ser detectada com sensores apropriados. Os óculos de visão nocturna usados pelos soldados americanos no Golfo são um uso deste princípio.
Recordemos agora que a luz que os nossos olhos vêem é uma pequena porção de uma infinidade de outras luzes que não vemos. A cada cor que vemos corresponde uma certa frequência ω e um certo comprimento de onda λ. Estas duas grandezas não são independentes, antes pelo contrário, o seu produto é uma constante universal, a velocidade de propagação da luz no vácuo, c, ou seja:
ωλ = 2πc
No espectro visível, o vermelho é a cor a que corresponde a menor frequência e o violeta a que corresponde a maior frequência. Para além do violeta temos o ultravioleta que é bem conhecido dos amantes da praia, pois é imprescindível proteger a pele dos seus efeitos potencialmente cancerígenos. Continuando a caminhar no sentido de luz com frequências cada vez maior passamos ao domínio dos raios X e posteriormente dos raios gama, usados na terapia de certas formas de cancro. No lado do vermelho e agora com frequências cada vez menores temos o infravermelho, usado, por exemplo, nos comandos das televisões, e as ondas de rádio. Nestas últimas, nas chamadas ondas longas, utilizadas em comunicações marítimas, o comprimento de onda é da ordem dos km. Por contraste, à cor amarela corresponde um comprimento de onda de cerca de 5×10-7 m e a radiação gama tem comprimentos de onda inferiores a 10-12 m.
Espectro da radiação electromagnética.
Espectro da radiação electromagnética.

Radiação do Corpo Negro

Para estudar esta relação entre a temperatura e o espectro da luz emitida, o melhor é construir um forno especial, constituído por uma cavidade aquecida, cheia de radiação a essa temperatura e isolada do exterior. Na figura seguinte mostra-se o espectro de um forno destes à temperatura de 5000 K.
Espectro radiação do corpo negro a 5000 K.
Espectro radiação do corpo negro a 5000 K.
O gráfico dá a densidade de energia, isto é, a energia por unidade de volume da cavidade, em função do comprimento de onda da radiação. Como se pode verificar, a esta temperatura o máximo da curva está na região do visível, mas também existe luz com maiores e menores comprimentos de onda. Se arrefecermos o forno o máximo desloca-se para a direita e afasta-se portanto da zona visível.
No final do século XIX conheciam-se bem as leis da Termodinâmica e, depois dos trabalhos de Maxwell, sabia-se que a luz era composta por ondas electromagnéticas. Era então possível calcular a densidade de energia no interior do forno e comparar com a experiência. O resultado foi surpreendente: – Na região dos grandes comprimentos de onda, a teoria concordava com a experiência, mas esta concordância era cada vez pior à medida que se comparavam as densidades de energia para comprimentos de onda menores. Esta afirmação está bem documentada na figura acima, na linha a tracejado. Este desacordo é tão notório que, na época, ficou conhecido com o nome de catástrofe dos ultravioletas. Olhando para o gráfico, verifica-se que a curva a tracejado cresce sempre no sentido dos menores comprimentos de onda, o que significaria que a densidade de energia correspondente a luz com menores comprimentos de onda aumentaria progressivamente. Densidades de energia cada vez maiores correspondem a luz com comprimentos de onda cada vez menores. A densidade de energia é a energia em cada centímetro cúbico da cavidade. Se esta densidade aumentasse sem limite, a energia no volume total do forno seria infinita, o que é evidentemente um absurdo.
Onda electromagnética.
Onda electromagnética.
O que está mal neste cálculo? Essencialmente, a teoria admitia que os átomos das paredes do forno funcionavam como pequenas antenas que emitiam e absorviam a radiação. Quando a cavidade estava em equilíbrio térmico, estas ondas eram estacionárias.
Onda estacionária.
Onda estacionária.
Para explicar este conceito, imagine uma corda fixa num extremo. Pegue na outra extremidade e agite a corda de modo a criar uma onda que se irá propagar ao longo da corda. Ao atingir a outra extremidade, a onda reflecte-se, volta para trás e interfere com a primeira. Desta interferência pode nascer uma onda estacionária quando, apesar da corda continuar a vibrar, os pontos de amplitude máxima e mínima permanecerem nos mesmos locais. Se uma corda fixa nas duas extremidades tiver um metro de comprimento, podemos gerar uma onda estacionária com λ = 2 m, cf. a figura, e considere que o outro extremo é o segundo ponto vermelho.
Podemos agora explicar qualitativamente porque falhava a teoria. Com comprimentos de onda grandes só era possível ter ondas estacionárias entre alguns pontos da parede da cavidade, tal como na corda do exemplo anterior. Contudo, para comprimentos de onda cada vez mais pequenos, é cada vez mais fácil encontrar pontos entre os quais se podem estabelecer ondas estacionárias. Não havendo nenhum limite, isto é, quando o comprimento de onda tende para zero, tende para infinito o número de possibilidades de encher a cavidade. Esta cavidade cheia com um número infinito de ondas teria então uma energia infinita.
Max Planck.
Max Planck (1858 - 1947)
A saída para este problema foi encontrada, no Outono de 1900, por um professor de Física da Universidade de Berlim chamado Max Planck. Planck postulou que a luz, tal como a electricidade, também tinha uma quantidade elementar, posteriormente designada por fotão. Assim, se tivermos uma cavidade com energia total Et cheia com luz monocromática, de apenas uma frequência ω, ela terá um número inteiro, N, de fotões e cada qual tem energia ħω. Assim temos:
Et = Nħω
onde ħ é a constante de Planck, h dividida por 2π.
Com esta hipótese Planck foi capaz de calcular a distribuição da energia no interior da cavidade e reproduzir exactamente os resultados experimentais. Essa distribuição é uma partição da energia total pelos fotões que correspondem a cada frequência do espectro. Nos pequenos comprimentos de onda a que, como já vimos, correspondem grandes frequências, cada fotão tem cada vez mais energia. Assim, para transportar a mesma quantidade de energia, precisamos de cada um número vez menor de fotões. Logo os ultravioletas, que os nossos olhos não vêem, correspondem a fotões mais energéticos do que os do visível. Por esse facto penetram na pele e podem alterar as nossas células. Com maior facilidade estas alterações são conseguidas com raios X e mais ainda com radiação gama, a que correspondem fotões ainda mais energéticos. Aliás, o seu uso terapêutico é justamente a destruição de determinadas células.

Difracção

Quando um feixe luminoso atravessa um orifício, se as dimensões deste forem da mesma ordem de grandeza do comprimento de onda, o feixe alarga e vai também para os lados, i.e., ocorre difracção. Basta olhar de noite para a luz de um candeeiro e ir fechando progressivamente os olhos. Verifica-se que, quando estes estiverem quase fechados, ver-se-á o candeeiro maior. Este aumento é justamente devido à dispersão da luz. Imaginemos agora que fazemos incidir um feixe luminoso monocromático num alvo, opaco, no qual existem dois orifícios com a mesma dimensão e da ordem do comprimento de onda da luz. Se apenas um dos orifícios estiver aberto, já sabemos o que acontece: – Num segundo alvo, colocado a uma certa distância do primeiro, e paralelo a ele, aparece uma mancha luminosa cujas dimensões são maiores do que as do orifício. Contudo, se deixarmos os dois orifícios simultaneamente abertos, o que obtemos são riscas alternadamente claras e escuras. Em particular, no ponto que corresponde à posição média entre os dois orifícios, existe uma mancha luminosa e à sua direita e à sua esquerda temos duas zonas escuras. Este fenómeno chama-se interferência.
Experiência da dupla fenda em duas dimensões.
Experiência da dupla fenda em duas dimensões.
A verificação experimental da sua existência, feita em 1801 por Thomas Young, fez abandonar a antiga teoria corpuscular da luz de Newton em favor da teoria ondulatória. Com efeito, a interferência é fácil de explicar com ondas. A zona clara central está à mesma distância de ambos os orifícios e, portanto, as duas ondas aí interferem construtivamente, as cristas das duas ondas chegam ao mesmo tempo e reforçam-se. Mas, um pouco mais à direita ou à esquerda, uma das ondas tem que percorrer uma distância ligeiramente maior do que a outra e esta pequena diferença faz com que à crista da primeira onda se sobreponha agora a cava da segunda, logo as duas ondas anulam-se e fica escuro.
No fim do século XIX o Electromagnetismo tinha finalmente conseguido explicar que a luz era composta por ondas electromagnéticas, pelo que a Óptica ficou reduzida a um dos capítulos do electromagnetismo. Contudo, poucos meses antes de nascer o novo século, Planck volta a introduzir a ideia de corpúsculos de luz: – Os fotões.
O conceito de partícula ou corpúsculo elementar forma-se a partir da observação de corpos com uma dada dimensão. Foi assim que Demócrito na antiga Grécia apresentou a hipótese atomista e nas suas palavras «tudo o que existe são átomos e espaço vazio». Sabemos hoje que os átomos estão longe de serem elementares, têm um núcleo central com um certo tamanho, uma certa massa e determinada carga eléctrica, positiva, e um número de electrões tal que o conjunto seja electricamente neutro. Assim, enquanto que o átomo mais simples de todos, o de hidrogénio, tem apenas um electrão, o de carbono tem seis, o de oxigénio oito e o de chumbo tem oitenta e dois electrões. Agora sabemos não só aquilo que distingue os átomos entre si, como também compreendemos como se constroem moléculas combinando vários átomos.
Experiência da dupla-fenda em três dimensões.
Experiência da dupla-fenda em três dimensões.
Quanto ao electrão, quando em 1897 J.J. Thomson descreveu as suas características, apresentou-o como uma partícula. Fazendo experiências sobre feixes de electrões, produzidos num dispositivo que pode ser considerado como o precursor dos modernos tubos dos aparelhos de televisão, determinou as suas energias, E, e os respectivos momentos lineares, \overrightarrow{p}. Em cada caso os valores obtidos obedeciam à relação:
E^2-(c\overrightarrow{p})^2=m^2c^4
em que a constante m é a massa do electrão.
Antes de Planck parecia que tudo estava mais em ordem. A corrente eléctrica era constituída por partículas, os electrões, todos com a mesma massa e com energias variáveis consoante fosse maior ou menor o seu momento linear, de acordo com a fórmula anterior. De notar ainda que o momento linear é uma grandeza que de certa maneira está relacionada com a energia, que todos sabemos estar associada ao movimento. Em particular, se o objecto estiver em repouso, terá \overrightarrow{p}= 0 e, nesse caso, a equação anterior reduz-se à célebre fórmula E = mc².
Por outro lado, a luz era constituída por ondas. A cada cor corresponde uma certa frequência ω e um certo vector de onda \overrightarrow{k}. Tudo parecia em boa harmonia até que Planck relacionou esses dois mundos: à onda caracterizada por ω e \overrightarrow{k}correspondem fotões com energia E = ħω e momento linear \overrightarrow{p}=\hbar\overrightarrow{k}. Pode-se verificar assim que,
(\hbar\omega)^2-(\hbar\overrightarrow{k}c)^2=(\frac{h}{2\pi}\frac{2\pi}{T})^2-(\frac{h}{2\pi}\frac{2\pi}{\lambda}c)^2=0
onde a segunda igualdade a zero foi obtida recordando que c = λ / T. Desta forma, ao calcular o primeiro membro da equação E^2-(c\overrightarrow{p})^2=m^2c^4, acaba-se de provar que a massa dos fotões é nula.
Corpo negro.
Corpo negro
Mas então o tal forno a temperatura constante está cheio de ondas ou de partículas? A conclusão, que está de acordo com a experiência, é que não basta apenas um dos conceitos para explicar todas as propriedades da luz. Do mesmo modo, outro Thomson, desta feita George, filho do físico que com tanta elegância demonstrou que os electrões eram partículas, provou que eles, tal como os fotões, também se difractam, ao repetir com electrões a experiência das duas fendas. Hoje todos sabemos que existem microscópios electrónicos, isto é, microscópios que usam feixes de electrões em vez de feixes luminosos. Em conclusão, fotões e electrões comportam-se quer como ondas quer como partículas.

Probabilidades

probabilidades
Até ao início do século XX pensava-se que as leis fundamentais do Universo eram deterministas. Desde os tempos mais remotos que os Homens tinham aprendido a prever as fases da Lua e posteriormente os movimentos dos planetas. O Sol volta todos os dias e não é difícil calcular a hora do seu nascimento.
É claro que na vida de todos os dias somos também confrontados com situações imprevisíveis. Quando se atira uma moeda de 1€ ao ar, não sabemos se ela vai cair com a face europeia ou com a face portuguesa virada para cima. Nestes casos recorremos a previsões probabilísticas. Se a moeda tiver sido produzida com o rigoroso controlo do Banco de Portugal e a vigilância atenta do Banco Central Europeu, a probabilidade de sair a face europeia ou a face portuguesa é 1/2.
Contudo, neste exemplo, um físico do século XIX argumentaria que o recurso às probabilidades é apenas circunstancial e decorre do facto de não termos conhecido com suficiente detalhe todos os dados do problema. Por outras palavras, se fosse possível determinar a posição inicial da moeda e conhecer com precisão todas as forças que lhe estão aplicadas, o impulso inicial dado pelos nossos dedos, a força da gravidade, a resistência do ar, a velocidade e direcção do vento, o grau de humidade, etc., então poderíamos prever qual a face que ficaria virada para cima.
1 €.
Fiquem desde já a saber que o físico do século XIX estava enganado. De facto, ao nível mais fundamental, as leis da Física são intrinsecamente probabilísticas. Continuemos com o exemplo da moeda de 1€. Os dois casos possíveis têm igual probabilidade p = 1/2. Podemos, contudo, fazer uma moeda falsa de tal modo que a probabilidade de cair com a face portuguesa seja p = 2/3. Evidentemente a probabilidade de cair com a outra face será q = 1/3. Representemos o estado da moeda quando o € fica com a face portuguesa para cima por |+〉 e quando fica com a outra face para cima por |-〉. Os euros, verdadeiros ou falsos, podem ser agora caracterizados do seguinte modo:
p → |+〉
q → |-〉
em que p + q = 1. A cada estado associamos um número que é a sua probabilidade de ocorrência. Como a probabilidade total é 1 e, neste caso, só existem dois estados possíveis, a sua soma será sempre 1.
Existem vários sistemas que são caracterizados por terem dois estados. Por exemplo uma lâmpada, que pode estar acesa ou apagada. É com base em sistemas binários que funcionam os computadores e os modernos meios de registar e transmitir informação. Também é binário o sistema quântico mais simples. Vamos inventar um € quântico, que designaremos por |€Q〉. Este novo sistema não só pode existir nos estados |+〉 e |-〉, como ainda pode existir em qualquer combinação linear destes estados de base, ou seja:
|€Q〉 = a|+〉 + b|-〉
Este sistema é como se fosse um vector num plano em que os números a e b são as suas componentes nos eixos. Em geral, as componentes a e b são números complexos e o quadrado dos seus módulos, |a|² e |b|² são as probabilidades de encontrar o sistema nos estados |+〉 ou |-〉, respectivamente.
De momento deixemos de lado esta complicação adicional e consideremos um exemplo com números reais. Seja o seguinte € quântico:
\vert\euro_Q\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\vert+\rangle+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\rangle

Lançamento de uma moeda ao ar.
Tal como com o euro falso, neste também existe uma probabilidade de [ 1 3 ] 2 = 13 de o encontrar no estado |+〉 e uma probabilidade de 23 de o encontrar no outro estado. Qualquer medida que se faça dará sempre estes resultados com as probabilidades indicadas. Mas afinal o que distingue este sofisticado euro quântico dum vulgar euro no qual um falsário amador deitou um pingo de solda numa das faces? Será apenas o facto das probabilidades serem agora dadas pelo quadrado do módulo de números complexos? Não. Esta é uma diferença, mas a diferença mais importante é que este “euro quântico” existe numa sobreposição dos dois estados. A descrição deste sistema é feita por um vector neste espaço bidimensional.
Inicialmente a Mecânica Quântica foi desenvolvida para explicar o átomo, ou melhor, para descrever o movimento dos electrões no átomo. Na Física Clássica, se considerarmos o movimento de um objecto pontual, em cada instante ele estará num determinado ponto e terá uma certa velocidade – ao meio dia está “aqui” com velocidade v a apontar para “ali”. É com base neste pressuposto que foi desenhado o esquema de átomo que ilustra o final desta página. Nele procura-se sugerir a observação de um átomo num certo instante e representa-se por pequenos círculos amarelos as posições dos electrões nesse instante. Os círculos servem para guiar a vista e mostrar ao leitor as sucessivas posições que esses electrões irão ocupar em instantes posteriores. Este esquema não poderia estar mais errado!
Esquema de um átomo, composto pelo núcleo e as órbitas dos electrões.
Esquema de um átomo, composto pelo núcleo e as órbitas dos electrões.
Na verdade, contrariamente ao pressuposto clássico, em cada instante a descrição do electrão é uma função de muitos pontos, é aliás uma função de todos os pontos. Sabendo essa função, Ψ, podemos calcular a probabilidade de encontrar o electrão numa determinada região, mais perto ou mais afastado do núcleo. Com esse conhecimento podemos também prever a sua energia, a sua velocidade, etc. Assim, os electrões não podem ser visualizados como partículas localizadas no espaço, mas antes devem ser vistos como “nuvens” de carga negativa espalhadas por todo o espaço. Existem regiões com maior probabilidade de encontrar o electrão e nesse sítio a nuvem será mais densa. Pelo contrário, à medida que nos afastamos do núcleo do átomo, a nuvem rarefaz-se e a partir de certa distância a probabilidade de encontrar o electrão é praticamente zero. Essa distância é o raio médio do átomo que é da ordem de 10-10 m.

Relações de incerteza de Heisenberg

Na descrição não quântica do movimento de um pequeno objecto faz sentido dizer que num certo instante ele está em determinado ponto. Nesse mesmo instante também é possível determinar a sua velocidade. Dito por outras palavras: em cada instante posso saber onde está e para onde vai.
Imaginemos agora que estudamos o movimento de um electrão. Já sabemos que a descrição quântica deste sistema é feita, em cada instante, por uma função de todo o espaço, Ψ(x) . Esta função, designada por função de onda, é em geral complexa e o seu módulo representa a densidade de probabilidade. Isto quer dizer que se considerarmos um ponto x0 e um intervalo de “tamanho” Δx  em torno de x0 a probabilidade de encontrarmos o electrão nesse intervalo é |Ψ(x0)Δx .
A figura seguinte mostra alguns exemplos de funções de onda simples.
Função de onda ao longo do tempo.
Função de onda ao longo do tempo.
No primeiro exemplo a função é praticamente zero para quase todos os valores de x e só é não nula numa pequena vizinhança do zero. A probabilidade de encontrar o electrão fora dessa região central é portanto zero. Quanto mais estreito e alto for o pico mais localizado está o electrão. Assim as funções sucessivamente representadas na figura correspondem a electrões cada vez mais “deslocalizados”. A função de onda de um electrão completamente “deslocalizado”, isto é, um electrão que tenha igual probabilidade de ser encontrado em todo o eixo dos x é:
\Psi(x)=\exp(i\frac{mv}{\hbar}x)
onde m é a massa, v a sua velocidade e ħ é a constante de Planck dividida por 2π. A este electrão corresponde uma velocidade bem determinada v. Na verdade, conhecer o produto da massa pela velocidade, grandeza a que se dá o nome de momento linear, p = mv , é mais importante e mais geral do que saber a velocidade. Por esta razão continuaremos esta exposição em termos de x e p. Então, o exemplo anterior mostra o caso de um p bem definido e um x completamente indefinido.
Modelo da nuvem electrónica para o átomo de hidrogénio.
Modelo da nuvem electrónica para o átomo de hidrogénio.
Ondas localizadas, como as representadas na figura, correspondem a uma sobreposição de um número muito grande de ondas do tipo da anterior, com valores de p diferentes. Mas quão diferentes? Imaginemos que sobrepúnhamos um número infinito de ondas com valores de p a variarem num intervalo de largura Δ centrado em p0 . O Ψ assim obtido corresponderia a um electrão localizado numa região de largura Δx. O que a teoria mostra, e a experiência confirma, é que electrões com grande dispersão no momento correspondem a pequena dispersão na posição e vice-versa. Grande dispersão no momento significa que são electrões que podem ter momentos muito diferentes. Pequena dispersão na posição significa que são electrões para os quais a posição é bem determinada. Os Δx e Δp podem ser encarados como incertezas na determinação da posição e do momento, respectivamente. O que a teoria mostra é que não podemos ter simultaneamente ambos arbitrariamente pequenos. Teremos sempre
\Delta{x}\bullet\Delta{p}\ge\frac{1}{2}\hbar
Esta é uma das Relações de Incerteza de Heisenberg. O que se disse para a coordenada x e a componente do momento linear segundo o eixo dos x dir-se-ia do mesmo modo para a posição segundo y e z e as respectivas componentes do momento.
Onda de probabilidade.
Estas relações são de tal maneira famosas que muitas vezes são quase identificadas com a própria Mecânica Quântica. Pior ainda! Têm sido vezes sem conta usadas erradamente e até mesmo abusadas por outros cientistas fora da Física. As relações não dizem que o conhecimento é sempre “nebuloso” e outras coisas no género. Posso determinar o momento dum electrão com a precisão que quiser, ou melhor, com a precisão que o meu engenho e arte forem capazes. De igual modo posso medir a sua posição. O que as leis da Física nos dizem é que existem variáveis que não se podem medir simultaneamente com precisão arbitrária.

O spin do electrão

spin
O spin é um conceito algo complexo de definir, por isso comecemos simplesmente por designar o spin como uma grandeza \vec{s}. No entanto, existe uma outra propriedade dos electrões que se explica facilmente e é proporcional a \vec{s}. Trata-se do momento magnético, \vec{\mu}, dado por:
\vec{\mu}=g_s\vec{s}
bússula
onde gs é um número. O facto dos electrões terem momento magnético significa que se comportam como uma agulha magnética colocada num campo magnético. Todos nós já vimos uma bússola e a sua agulha, e sabemos que a Terra produz um campo magnético cujo pólo Norte quase coincide com o pólo Norte geográfico da Terra e também sabemos que uma das pontas da agulha da bússola se orienta segundo o pólo Norte. Em resumo: Já vimos um íman, sabemos que tem dois pólos, que os pólos opostos se atraem e homónimos se repelem.
Imaginemos agora que comprávamos um íman em forma de ferradura e que entre os seus pólos, exactamente no meio, colocávamos outro pequeno íman. Imaginemos ainda que alinhávamos este segundo íman por forma a que os seus pólos ficassem voltados para os pólos opostos do íman em ferradura. O que aconteceria? Nada! Como por hipótese o pequeno íman estava colocado ao meio, eram iguais e opostas as forças que atraíam cada uma das suas extremidades para os pólos do íman em ferradura.
Percebido este exemplo e recordando que cada electrão é um pequeno íman, estamos em condições de descrever uma experiência semelhante a uma outra realizada, pela primeira vez em 1922, por Otto Stern e Walther Gerlach.
Dispositivo experimental de Stern-Gerlach.
Dispositivo experimental de Stern-Gerlach.
A figura mostra, esquematicamente, o dispositivo para fazer a experiência de Stern-Gerlach (SG). Temos um campo magnético, cujos pólos estão indicados na figura e cujo formato é diferente para indicar que agora o campo não é uniforme. Isto quer dizer que, contrariamente ao exemplo anterior, um íman colocado exactamente no ponto médio e alinhado com o campo exterior sofreria uma força resultante que o desviaria para um dos lados. Com efeito, em virtude do campo não ser uniforme, o seu pólo Sul seria, por exemplo, mais atraído para o pólo Norte do íman exterior do que o seu pólo Norte seria atraído pelo pólo Sul do íman exterior. Na experiência existe um dispositivo, chamado canhão de electrões, que produz um feixe destas partículas dirigido para a região central entre as extremidades do íman. Se não existisse o campo magnético, os electrões seguiam em frente e bateriam num alvo, onde produziriam luz por fosforescência, tal como acontece nos aparelhos de televisão, onde a imagem que vemos também resulta do embate de electrões. No tal alvo apareceria um ponto luminoso com o diâmetro do feixe. Existindo o campo magnético, o que seria de esperar é que este ponto luminoso fosse agora uma faixa alongada no sentido norte-sul. Com efeito, alguns electrões teriam o seu momento magnético alinhado com o campo e sofreriam um desvio máximo, para cima ou para baixo da zona central, consoante estivessem alinhados com o seu pólo Sul para cima ou para baixo. Entre estas duas posições extremas iriam bater os electrões cujos momentos fizessem com a direcção do campo exterior os mais variados ângulos, em particular, os que tivessem o momento magnético perpendicular ao campo exterior seguiriam em frente e continuariam a bater na zona central.
A primeira surpresa é que os electrões não se comportam assim. Quando não temos o campo magnético, batem efectivamente todos na posição central, mas, quando existe campo, em vez de se distribuírem por uma faixa alongada, o que acontece é que todos eles batem nos pontos correspondentes aos extremos desta faixa.
Experiência de Stern-Gerlach.
Canhão de electrões a verde, onde a seta representa o campo magnético não uniforme e as linhas as trajectórias dos electrões.
No esquema anterior, a seta indica o campo magnético não uniforme. Na sua ausência os electrões seguem a linha tracejada e produzem uma mancha luminosa na zona central do alvo. Quando existe um campo magnético, observam-se duas manchas luminosas, como se mostra no esquema. Podemos ainda melhorar a experiência: em vez de detectarmos os electrões observando a luz que produzem no alvo, vamos colocar nessas duas posições detectores que contam os electrões que lá chegam. De igual modo, contamos o número de electrões que, por segundo, saem do canhão. Nesta nova versão confirmaríamos quantitativamente os resultados já conhecidos. Assim, se por segundo o canhão emitisse N electrões, cada um dos dois contadores mediria N/2 electrões no mesmo intervalo de tempo.
Como interpretar esta experiência? À primeira vista parece que o canhão só produz electrões com momento magnético e portanto spin de dois tipos. Na falta de melhor nome chamaremos aos que são deflectidos para cima, electrões com spin «up» e aos que são deflectidos para baixo, electrões com spin «down». Vamos representar cada um destes estados do electrão da seguinte forma:
    up → |↑〉
down → |↓〉
A experiência permite concluir que a fonte de electrões produz o mesmo número de ups e downs.
Mas há qualquer coisa de errado nesta explicação. Como vivemos num espaço tridimensional, convencionemos que a direcção do campo magnético é segundo o eixo dos zz. Então, a nossa explicação implica que a fonte de electrões que usámos produz electrões todos com o seu momento magnético alinhado segundo o mesmo eixo, metade com o pólo Norte para cima e a outra com o pólo Sul para cima, mas nenhum inclinado. Que grande sorte! Antes de nos interrogarmos sobre a razão de tamanha sorte, façamos uma pequena verificação experimental. Sem alterarmos o canhão de electrões ou o método de detecção destes rodemos o campo exterior de um certo ângulo. Agora, em relação à nova direcção do campo, todos os electrões estão inclinados, o que lhes irá provocar uma deflexão menor. Esperaríamos então que as duas manchas ficassem mais perto da posição central. Mais ainda, se rodarmos o campo de 90°; os electrões estariam todos perpendiculares ao campo e este era justamente o caso em que não sofreriam deflexão.
O resultado da experiência não é este. Por mais que se rode o campo, os electrões serão sempre detectados nas mesmas duas posições. São sempre up ou down em relação a todas as direcções.
Daqui para a frente designaremos por dispositivo SG, uma montagem como a que temos vindo a usar. Esse dispositivo é como se fosse uma caixa com um campo magnético no seu interior, cuja direcção pode ser alterada, e onde num lado existe uma entrada para electrões e do outro duas saídas por onde saem electrões up e down, respectivamente. Esquematicamente teremos:
Dispositivo de Stern-Gerlach.
Dispositivo de Stern-Gerlach.
Coloquemos dois SG sequencialmente, ambos com o campo B paralelo, na mesma direcção e sentido. No primeiro, SG1, vamos fazer entrar os electrões produzidos no canhão. Depois fechamos a saída down do SG1 e fazemos entrar os electrões up no SG2. Por qual das saídas de SG2 sairão agora os electrões? Pela saída up. é verdade, este é o resultado desta experiência. Na saída do primeiro SG só temos electrões up, porque os outros foram bloqueados, e, portanto, do segundo SG saem os mesmos ups que tinham entrado. Logo, se no segundo SG bloquearmos a saída up, não saem electrões desta combinação de dois SG.
Façamos uma terceira experiência. Mantendo a mesma situação dos dois SG da experiência anterior, vamos apenas intercalar entre a saída do primeiro SG e a entrada do segundo um terceiro SG com o respectivo campo magnético B' rodado de 45°; em relação a B. De sublinhar que ao intercalar o terceiro SG não tocámos nem nos outros dois, nem tão-pouco na fonte inicial dos electrões. Como é óbvio, isto é sempre possível, basta termos previamente deixado entre os dois SG o espaço necessário para intercalar o terceiro. O que acontecerá agora? O SG1 continua a seleccionar exclusivamente os electrões up. Por outro lado, o último SG continua com a saída up bloqueada e apenas com a saída down aberta. Por este facto, antes de intercalarmos o terceiro SG, não saíam electrões. Contudo, com o terceiro SG intercalado, saem electrões pela saída down. Parece um truque de magia, mas não existe truque, o que é mágico é que estas sejam as leis da Natureza.
Numa dada direcção, definida pela direcção do campo magnético do SG, z por exemplo, o spin do electrão, chamemos-lhe |Ψ〉, exprime-se em termos dos estados |↑〉 e |↓〉 por um par de números (a,b). Temos então:
|Ψ〉 = a|↑〉 + b|↓〉
Outro aparelho SG, com outra orientação do campo, B', corresponde a uma nova base, digamos, |↑〉 e |↓'〉. Se o ângulo entre B' e o B inicial for θ, então também é possível relacionar os up' e os down' com os up e down. O resultado que se obtém é:
|↑'〉 = cosθ2|↑〉 - senθ2|↓〉
|↓'〉 = senθ2|↑〉 + cosθ2|↓〉
Também é possível fazer o contrário, isto é, inverter o sistema de equações anterior e exprimir os up e down na base dos up' e down':
|↑〉 = cosθ2|↑'〉 + senθ2|↓'〉
|↓〉 = -senθ2|↑'〉 + cosθ2|↓'〉
Podemos agora interpretar a experiência com os três SG. O primeiro funciona como analisador e na sua saída só temos estados up. Na ausência do SG intermédio, o último SG com a saída up bloqueada só deixaria passar electrões down, mas estes não existem. O que se passava quando intercalamos o outro SG com um novo B' rodado em relação aos dois anteriores é que, agora, estamos a definir uma nova base up' e down'. Então, usando as equações anteriores, o estado |↑〉 que entra no SG intermédio é
|↑〉 = cosθ2|↑'〉 + senθ2|↓'〉
Admitamos que o SG intermédio tem também a saída up bloqueada. Desde modo do SG intermédio sairá o estado |↓'〉. Mas, usando a equação |↓'〉 = senθ2|↑〉 + cosθ2|↓〉, down' é uma combinação linear de up e down, isto é,
|↓'〉 = senθ2|↑〉 + cosθ2|↓〉
e é esta combinação linear que entra no terceiro SG. Então na saída down deste SG já aparecem electrões.
Como já anteriormente tínhamos dito, as amplitudes são números cujo quadrado do módulo representam probabilidades. Assim, olhando para a última equação, o estado down', o tal que entra no último SG, terá uma probabilidade p = sen2θ2 de sair pela saída up e uma probabilidade q = cos2θ2 de sair pela saída down. Do mesmo modo, observando a equação |↑〉 = cosθ2|↑'〉 + senθ2|↓'〉, verifica-se que de todos os electrões up que entram no SG intermédio, a probabilidade dos down' é sen2θ2. O canhão inicial produz electrões no estado
|Ψ〉 = 12|↑〉 + 12|↓〉
isto é, com cinquenta por cento de probabilidade de serem up ou down. Portanto, a probabilidade total de observar o fenómeno que temos vindo a estudar é
p=\frac{1}{2}\sin^2\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1}{8}\sin^2\theta
Se θ = 0, esta probabilidade é nula, o que facilmente se compreende. Neste caso, o SG intermédio é igual ao primeiro SG dado que têm os mesmos campos magnéticos. Então se nele só entram electrões no estado up, só deveriam sair pela saída up, mas esta está bloqueada. O máximo valor de p é 1/8 e corresponde ao caso em que θ = π/2.
Luz a atravessar um polarizador.
As leis que regem o Mundo em que vivemos são de facto fascinantes. Faça você mesmo uma experiência em casa. Compre três pedaços de vidro polaróide, dos que são usados para fazer os óculos de sol que têm esse nome. Em frente a uma lâmpada coloque o primeiro desses vidros. A uma certa distância e paralelo ao primeiro coloque o segundo e rodem-no até não passar luz. Agora, sem mexer nestes dois vidros, intercalem o terceiro. Observará que a luz volta a passar.
Luz a atravessar um polarizador vertical seguido de um polarizador horizontal.
Os fotões, tal como os electrões, também têm spin. Nas unidades em que esta grandeza se mede, o seu valor é 1, enquanto que para os electrões é 1/2. Contudo, o que mais importa é que também existem dois estados, que usualmente se designam por polarizações. As leis da Física Quântica a que eles obedecem são as mesmas e a experiência que descrevemos acima é análoga à que estudámos com os electrões. Assim, a lâmpada emite fotões com ambas as polarizações, o primeiro polaróide selecciona só uma das polarizações e na ausência do polarímetro intermédio, o último foi orientado de modo a só deixar passar os fotões com a outra polarização. Por essa razão não passa luz. Depois intercalou-se o outro polaróide, rodado em relação ao primeiro de um ângulo θ e, como que por magia, voltou a passar luz.
Luz a atravessar um polarizador vertical, seguido de um polarizador rodado de um ângulo θ, seguido de um polarizador horizontal.

Entrelaçamento quântico

Consideremos o spin de dois electrões. Em relação a um eixo predefinido, por exemplo o dos zz, as possibilidades são:
up up |↑〉|↑〉
down down |↓〉|↓〉
up down |↑〉|↓〉
down up |↓〉 |↑〉
é como se lançássemos ao ar duas moedas de euro e listássemos as várias possibilidades. Notemos que nos dois primeiros casos o estado dos dois spins é simétrico, isto é, permutando-os obtemos o mesmo estado. Tal não acontece nos dois últimos casos, pois a sua permuta dá o outro estado. Ou seja, o estado
\left\vert{S}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left\vert\uparrow\right\rangle\left\vert\downarrow\right\rangle+\left\vert\downarrow\right\rangle\left\vert\uparrow\right\rangle\right)
é simétrico e o estado
\left\vert{A}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left\vert\uparrow\right\rangle\left\vert\downarrow\right\rangle-\left\vert\downarrow\right\rangle\left\vert\uparrow\right\rangle\right)
é antissimétrico, isto é, permutando os dois spins não obtemos o estado |A〉, mas sim o seu simétrico, -|A〉. Será que esta combinação existe? Existe. Por exemplo, o átomo de hélio, no estado fundamental, tem os seus dois electrões justamente nesta combinação de spins. Este tipo de estados são usualmente designados por estados entrelaçados.
Esquema de um átomo de hélio.
Esquema de um átomo de hélio.
Vejamos com mais detalhe o que significa estado entrelaçado. Não se trata dos dois electrões estarem abraçados ou sequer ambos na mesma localização. Nada disso, podem até estar muito afastados um do outro. Tão afastados que é possível inventar um canhão de electrões entrelaçados, CEE, com duas saídas opostas de tal modo que cada electrão do par sairá por seu lado.
Canhão de electrões entrelaçados.
Canhão de electrões entrelaçados.
A figura anterior esquematiza a experiência que vamos estudar. O CEE, representado a vermelho na figura, produz pares de electrões no estado |A〉, dado pela equação anterior. De cada par, um dos electrões sai pelo lado A e entra no SG da esquerda e o outro sai pelo lado B e entra no SG da direita. Por facilidade de linguagem chamaremos electrão 1 ao que caminha para o SG da esquerda e electrão 2 ao outro. De igual modo, na equação que representa o estado A, a primeira seta refere-se ao electrão 1 e a segunda ao 2. Olhemos para essa equação. A amplitude correspondente a encontrar o electrão 1 no estado up é 1/√2 e a amplitude correspondente a encontrar o electrão 1 no estado down é -1/√2. Daqui decorre que o electrão 1 ao entrar no SG terá 50% de probabilidade de sair por cada uma das duas saídas. Feita a experiência é isso que se verifica: com N pares entrelaçados obtemos no SG da esquerda N/2 electrões na saída up e N/2 na saída down. Para o electrão 2 as amplitudes correspondentes a up e down são -1/√2 e 1/√2, respectivamente. Logo, no SG da direita, onde entra o electrão 2, as probabilidades são as mesmas, 1/2.
O que é característico do estado entrelaçado é a correlação que existe entre o spin do electrão 1 e o spin do electrão 2. Verifica-se que quando 1 é up 2 é down e vice-versa. Isto pode ser experimentalmente comprovado dotando o nosso equipamento de uma pequena sofisticação: entre as saídas dos dois SG montamos um dispositivo de coincidência. Trata-se de um dispositivo que ligado, por exemplo, à saída up do SG esquerdo e à saída down do SG da direita só disparará se ambos os detectores detectarem simultaneamente um electrão. Pode-se pensar numa lâmpada que só se acende, se, simultaneamente, os dois detectores assinalarem a presença de um electrão. Com este tipo de circuito de coincidências foi fácil comprovar que a um electrão 1 up corresponde um electrão 2 down e vice-versa. Por outro lado, montando o circuito de coincidências entre as duas saídas up ou as duas down, a lâmpada permanece sempre apagada. Quer dizer, nunca medimos simultaneamente os dois electrões em estados up ou os dois em estados down.
Dispositivo de entrelaçamento de fotões.
Dispositivo de entrelaçamento de fotões.
Da mesma forma, pode-se criar estados entrelaçados de fotões. Existem dispositivos que permitem, a partir de um feixe laser inicial, produzir dois feixes de fotões quanticamente entrelaçados.
Se um dos fotões de um par entrelaçado encontrar um filtro polarizador vertical, terá uma probabilidade de 50% de o atravessar. Contudo, se o atravessa, então o seu parceiro não o faz, porque no instante em que a polarização do primeiro fotão é determinada como sendo vertical, a polarização do segundo fotão é necessariamente horizontal. Esta "comunicação instantânea" é a "impressão digital" do entrelaçamento quântico.
Uso da Estação Espacial Internacional para distribuir pares de fotões entrelaçados pela atmosfera em direcção a duas estações muito distantes na Terra.
Uso da Estação Espacial Internacional para distribuir pares de fotões entrelaçados pela atmosfera em direcção a duas estações muito distantes na Terra.
Os estados entrelaçados parecem estar em conflito com a Teoria da Relatividade, pois a informação não pode ser transferida mais rapidamente do que a velocidade da luz. Foi com base na análise deste tipo de experiências de entrelaçamento que Einstein, Podolsky e Rosen questionaram, em 1935, a validade das leis da Mecânica Quântica. Einstein chamou mesmo ao entrelaçamento quântico "uma estranha acção à distância". No entanto não existe nenhum paradoxo, pois embora dois estados entrelaçados aparentem interagir ao longo de grandes distâncias espaciais, nenhuma informação pode ser transmitida desta forma.
As experiências feitas em vários laboratórios, por pessoas e sistemas diferentes, confirmaram as previsões. É de salientar interessante salientar que uma experiência deste tipo foi feita com fotões entrelaçados, sendo os membros de cada par detectados em duas pequenas cidades, situadas na orla do lago Genebra, separadas por uma dezena de quilómetros. Entre estes dois pontos os fotões viajaram na fibra óptica da companhia suiça de correios e telefone. Hoje em dia estes pares entrelaçados estão a ser utilizados em aplicações tecnológicas, nomeadamente na criptografia quântica.

Aplicações da Mecânica Quântica

A Mecânica Quântica tem tido um enorme sucesso em explicar muitas características do nosso Mundo. O comportamento individual das partículas subatómicas que constituem todas as formas de matéria – electrões, protões, neutrões, etc – só pode ser descrito usando a Mecânica Quântica. Esta explica como os átomos individuais se combinam para formar compostos químicos, dá um conhecimento quantitativo dos processos de ligação química e determina explicitamente o quão estáveis são as moléculas.
Raio laser.
Raio laser.
Transístor
Transistor
Muita tecnologia moderna opera a uma escala onde os efeitos quânticos são significativos. Exemplos incluem o laser, o transístor, o microscópio electrónico, a superconductividade e a imagens de ressonância magnética.
Os investigadores estão actualmente à procura de métodos robustos de manipular directamente estados quânticos. Estão a ser feitos esforços para desenvolver a criptografia quântica, que vai permitir transmissões de informação garantidamente seguras. Um objectivo mais distante é o desenvolvimento de computadores quânticos, que serão muito mais rápidos que computadores clássicos. Outro tópico de investigação é a teleportação quântica, que desenvolve técnicas para transmitir estados quânticos a distâncias arbitrárias.
Microscópio electrónico.
Microscópio electrónico.

Fonte:http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo1/modulo1/

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